“El mundo es comprensible racionalmente porque tiene estructura” (Platón)
“El papel de las ciencias es clasificar en lugar de medir” (Aristóteles)
“A lo que han de reducirse las cosas es a ideas platónicas” (Kurt Gödel)
Platonismo y Aristotelismo
La teoría de las ideas de Platón
Apoyándose en su famosa alegoría de la caverna [República VII, 514 d], Platón elaboró su teoría de las ideas, el núcleo de su filosofía. Con ella pretendía fundamentar la realidad y explicar la unidad en la diversidad. Según Platón, la realidad tiene dos polos:
Inteligible.
Es el mundo superior, el mundo de las ideas. Estas ideas son eternas, perfectas, inmutables, susceptibles de un verdadero conocimiento (episteme). Representan al verdadero ser, Son los modelos o arquetipos del otro polo de la realidad (las cosas del mundo sensible). Tienen existencia real e independiente. Son trascendentes. No pueden ser objeto de conocimiento sensible, son solo cognoscibles por la razón. Son un conocimiento a priori (previo a la experiencia).
Sensible.
Es el mundo inferior, el mundo material de las cosas. Las cosas son temporales, imperfectas, cambiantes, engañosas, susceptibles de opinión (doxa). No son el verdadero ser, sino la proyección o manifestación de la realidad inteligible (nuestros sentidos solo perciben las sombras o proyecciones sobre la pared de la caverna). Pero el mundo sensible no puede reducirse a una mera ilusión, pues las cosas reflejan y participan de las ideas. Son un conocimiento a posteriori, requiere experiencia sensorial, contacto con el mundo físico.
Según la teoría platónica:
El origen de las cosas se encuentra en las ideas. Su maestro Sócrates afirmaba que el conocimiento se basa en los conceptos, que representan la realidad de las cosas. Platón intuyó que había algo superior a los conceptos del plano mental y lo llamo “idea”, elevándola a la categoría del Ser. Las ideas son entidades abstractas, modelos o patrones ideales que constituyen una ontología superior y universal.
Las ideas tienen su existencia en un reino propio, en una dimensión aparte, diferente de la dimensión material y espacio-temporal.
Como en el mundo de las ideas es atemporal, no hay tampoco relaciones de causa-efecto.
Las ideas no son creaciones de la mente, pues existen independientemente del pensamiento. Son formas eternas, inmutables e incorpóreas. Solo las podemos percibir y conocer mediante la pura razón, no por los sentidos físicos.
La verdadera realidad consiste en puras esencias de ideas arquetípicas. Los fenómenos que percibimos son sólo reflejos o manifestaciones de esa realidad superior.
Cada cosa particular (sensible) tiene su soporte y fundamento en lo inteligible, en lo universal.
Las cosas sensibles participan de las ideas. Las ideas constituyen una realidad superior, pero que están también presentes en las cosas, en el mundo inferior.
Con el entendimiento y la razón se obtiene el conocimiento. Con la imaginación y la creencia se obtienen solo opiniones. La realidad sensible es cambiante y no proporciona conocimiento verdadero, pleno y universal.
La fuente de todas las ideas es Dios.
La Dialéctica, la ciencia de las ideas, nos conduce al verdadero conocimiento.
“Conocer es recordar”. Según Platón, todas las almas humanas habitaron en otro tiempo el mundo superior de las ideas.
Platón ha sido uno de los pensadores más influyentes en la cultura occidental. El platonismo desempeñó un papel crucial en el desarrollo del cristianismo, pues constituyó el principal apoyo de la teología cristiana. Los teólogos Clemente de Alejandría y San Agustín fueron los primeros exponentes de esta filosofía. En el siglo XX, Heidegger decía que “Mi filosofía consiste en redescubrir el Ser escondido por el idealismo platónico”, y Whitehead afirmó que “La historia de la filosofía occidental no es más que una serie de notas a pie de página de las obras de Platón”.
La matemática trascendental de Platón
Con la teoría de las ideas, Platón quería también fundamentar la matemática, pues fue influido por las nociones pitagóricas de armonía numérica y geométrica. Realmente la teoría de las ideas tuvo su origen e inspiración en las formas geométricas. De hecho, la palabra griega “idea” también se traduce como “forma”. Por ejemplo, un círculo es una figura geométrica compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto tal figura (empezando porque los puntos no tienen extensión) ni se podrá ver jamás. Los objetos de forma circular del mundo sensible o material son solo aproximaciones al círculo ideal. Platón recomendaba la geometría como el sistema a seguir para intuir o acercarnos a este reino metafísico. Recuérdese que en el frontispicio de su Academia ponía “Que no entre nadie aquí que no sepa geometría”.
Hacia el final de su vida, Platón adoptó una filosofía más próxima a la pitagórica, interpretando las ideas en términos matemáticos, que reflejó principalmente en el Timeo. Platón, a pesar de no ser matemático, ha ejercido una influencia considerable en el desarrollo de las matemáticas, por su convicción de la trascendencia de esta disciplina:
Las ideas matemáticas son las ideas fundamentales, las más importantes de todas, pues constituyen la esencia de la realidad.
La matemática es la aristocracia intelectual del conocimiento, pues tiene como misión formar el intelecto, fundamentar la filosofía y todo el saber en general. La matemática es una ontología universal. El conocimiento de las matemáticas es un prerrequisito esencial para toda sabiduría.
Las matemáticas deben ser independientes de todo pragmatismo, pues tienen como finalidad el conocimiento en sí. El espíritu humano puede explorar este territorio de ideas sin doblegarse a la dimensión sensible de la realidad. Las aplicaciones matemáticas están en un nivel inferior, más superficial, y de ellas se ocupaba una ciencia de los entes matemáticos, el “arte matemático”.
La matemática eleva el espíritu hacia lo abstracto y hacia la verdad, para escapar del ámbito sensible. Eleva el alma desde las cosas sensibles a la verdad inteligible, cognoscible por la vía racional.
La aritmética y la geometría son una propedéutica (enseñanza preparatoria) para la Dialéctica, que es una ciencia superior a la Matemática.
La matemática nos conduce más allá de la existencia ordinaria. Y nos muestra la estructura subyacente de toda la creación. La matemática es la clave al mundo trascendente, un mundo que está más allá de la descripción ordinaria.
Las matemáticas están conectadas con lo divino: “Dios siempre hace geometría” (Platón). Hay que intentar descubrir las leyes que gobiernan el universo para acercarnos a la realidad suprema de Dios.
El objetivo fundamental de la matemática es la contemplación del Ser, de lo profundo.
En lo más profundo del mundo de las ideas, en su núcleo fundamental, está el mundo matemático.
El mundo matemático no es una parte del mundo mental, sino el armazón, la estructura de la que está constituida el mundo mental.
El mundo físico es una proyección o manifestación del mundo matemático. Por lo tanto, existe una correspondencia entre las leyes de la naturaleza y las de la matemática. Las leyes físicas son leyes matemáticas.
Platonismo matemático
También llamado “realismo matemático”, es la aplicación del idealismo platónico al mundo matemático. Este término fue acuñado por primera vez por Paul Bernays [1935], para referirse a la doctrina que sostiene que los conceptos matemáticos tienen una realidad objetiva e independiente del sujeto cognitivo.
Los principios del realismo matemático, tal y como hoy se concibe, son los siguientes:
Existencia. Los objetos matemáticos existen, son reales.
Abstracción. Los objetos matemáticos son abstractos. Tienen existencia metafísica, no pertenecen al mundo físico, son inmateriales. Por lo tanto, no tienen atributos espacio-temporales.
Independencia. Los objetos matemáticos existen por sí mismos, y son independientes del mundo físico y de los seres humanos.
Eternidad. Los objetos matemáticos son eternos o atemporales. Existen desde el principio de los tiempos y antes de que los humanos los percibiesen por primera vez. No tienen, por lo tanto, relaciones causales.
Inalterabilidad. Los objetos matemáticos no se pueden modificar ni destruir.
Descubrimiento. Las verdades matemáticas no se inventan, se descubren. No son construcciones de la mente. Descubrimos los entes matemáticos ya existentes.
Apriorismo. La verdad matemática es un conocimiento a priori, previo a toda experiencia.
Intuición. La intuición es la facultad que nos permite conocer la realidad matemática.
Perfección y orden. El mundo matemático es un mundo perfecto y ordenado.
Algunos ejemplos de entidades matemáticas platónicas son:
Los números naturales y su estructura son entes abstractos que tienen existencia real, independientes de la mente humana. Por ejemplo, los números 16 y 25, cuadrados perfectos, tienen propiedades tan reales como las propiedades físicas de la luz y la gravedad.
Un triángulo es una entidad real y no una creación de la mente humana.
El teorema de Pitágoras es eternamente verdadero, independientemente del lugar, época o la persona que lo utilice.
El llamado “último teorema de Fermat”, que afirma que ninguna potencia n-ésima positiva de un número entero puede ser la suma de otras dos potencias n-ésimas positivas si n es un número entero mayor que 2. Este teorema es una afirmación objetiva. Femat escribió en 1637, en el margen de un ejemplar de la Aritmética de Diofanto: “He encontrado una demostración maravillosa, pero no cabe en este margen tan estrecho”. Finalmente, Andrew Wiles lo demostró en 1995.
El conjunto (fractal) de Mandelbrot es un descubrimiento, no una invención de lamente humana. Aunque esta figura geométrica necesita de la ayuda de la Informática para su visualización y exploración.
El grupo de simetrías llamado M (de “monstruo”), que tiene realmente un número enorme de simetrías y que es representable en un espacio de al menos 196.883 dimensiones, es un descubrimiento.
La filosofía de Aristóteles
La visión de Aristóteles presenta diferencias respecto a la de su maestro. Criticó su teoría de las ideas por su carácter trascendente y místico, planteando su filosofía en un nivel más terrenal y pragmático.
La esencia de las cosas (los universales) se encuentra en las cosas mismas y no separado de ellas.
El conocimiento se adquiere de dos formas:
De forma directa, práctica, mediante los sentidos, realizando abstracciones para captar los rasgos o características comunes de los objetos de la experiencia. “No hay nada en el intelecto que no haya estado primero en los sentidos”.
De forma indirecta, deduciendo nuevos conocimientos aplicando las reglas de la lógica. Fundamentó su lógica formal (la lógica de los silogismos) sobre el tipo de oración más sencillo: sujeto y predicado (sustancia y atributo, respectivamente).
Como Platón, considera que el conocimiento abstracto y universal es superior a cualquier otro, pero discrepa de Platón respecto al método para alcanzarlo. Para Platón, el conocimiento es de tipo arriba-abajo (desde el mundo de las ideas al mundo sensible). Para Aristóteles, el conocimiento se logra de abajo–arriba (desde el mundo físico al mundo abstracto). “Lo que percibimos por los sentidos es necesariamente particular, mientras que la ciencia consiste en reconocimiento del universal”. Para Aristóteles los universales son reales, pero están unidos a las cosas.
La sustancia es lo fijo e inmutable de la realidad. Los accidentes es lo que está sujeto a cambios y mutaciones. A su vez, la sustancia está formada por materia y forma. Es su teoría hilemórfica (de hylé, materia y morphé, forma), que afirma que todo es materia y forma.
Para Platón, la matemática se descubre. Para Aristóteles, la matemática se inventa, se crea a través de la abstracción.
Dios no es la fuente de las ideas, sino la más elevada de las ideas.
Platón no llegó a especificar cuales eran las ideas o formas que rigen en el mundo superior. Aristóteles, en cambio, elaboró una lista de 10 categorías abstractas que constituían la esencia de la realidad, siendo la primera de ellas precisamente la sustancia. “El papel de las ciencias es clasificar en lugar de medir” (Aristóteles).
Las posturas de Platón y Aristóteles se reflejan muy bien en la pintura de Rafael “La Escuela de Atenas”, que muestra en el centro a Platón y Aristóteles, defendiendo sus respectivas teorías. Platón eleva hacia el cielo el dedo índice de la mano derecha, defendiendo la teoría de las ideas (lo ideal, lo sublime, lo superior, la intuición). Aristóteles, con la palma de la mano derecha hacia abajo, defendiendo la teoría de las formas (la razón, la lógica, lo formal, los hechos, lo práctico).
Platón y Aristótles en "La Escuela de Atenas" (Rafael)
Matemáticos platónicos
El platonismo ha sido −y lo sigue siendo− una filosofía muy importante e influyente, como lo demuestra el hecho de que muchos matemáticos importantes se han declarado platonistas. Es lo que se denomina “platonismo matemático” o “realismo matemático”.
A lo largo de la historia, muchos matemáticos han sido realistas y se referían a su propio trabajo como “descubrimientos”. Cuando un matemático siente que está descubriendo verdades objetivas, y no simplemente construyendo sistemas, es que está comprometido más o menos conscientemente con el platonismo. Hoy día, el platonismo sigue siendo una de las filosofías de la matemática más vivas e influyentes. Matemáticos platonistas destacados son:
Pitágoras. Se le puede considerar platónico porque creía que los números enteros constituían la esencia de la realidad, una realidad de tipo noumenal, la forma (o ideal) existente tras la realidad del mundo físico (phenomenal). Para los pitagóricos, las matemáticas eran más que una ciencia, era una forma unificada y profunda de ver el mundo. Reconocían 10 principios esenciales de todas las cosas, que se asociaban con cada uno de los 10 primeros números. De estos 10 números, el número uno (o mónada) se consideraba el principio supremo, pues está presente en todos los números. Los pitagóricos solo aceptaban los números enteros y los racionales como realidad trascendente, convicción que se alteró profundamente cuando descubrieron los números irracionales.
Descartes. Su posición es de un racionalismo radical. Las ideas son innatas y las posee todo ser dotado de razón. La razón es la misma para todos. Las verdades son innatas, formas de pensar el mundo físico. Las verdades matemáticas se fundamentan en ideas. Los objetos matemáticos son ideas, formas de pensar, no son objetos sensibles. La eternidad de las verdades matemáticas se debe a la inmutabilidad de las ideas innatas con las que conceptualizamos los objetos. La posición de Descartes puede considerare un cuasi-platonismo.
Leibniz. Sigue a Descartes y refina la visión racionalista de las matemáticas. Los sentidos nos conectan con entidades particulares o singulares. Pero ambos no son suficientes para establecer las verdades universales. Lo universal reside en principios simples y en bloques constructivos básicos. La simplicidad suprema reside en su concepto de mónada: una sustancia metafísica simple (átomo metafísico), sin partes, sin extensión, indivisible, eterna y autárquica. Las mónadas son el fundamento de todo y son como almas que reflejan el universo entero.
Cantor. Aportó una visión moderna del platonismo matemático basado en el concepto universal de conjunto, y descubrió los números transfinitos. Cantor creía en la existencia del mundo platónico de las ideas, donde tenían existencia real e independiente los números, los conjuntos, el infinito y donde los conjuntos infinitos (como los números naturales, los números reales y los números transfinitos) existían también como totalidades. Para Cantor, las matemáticas no solo son útiles para la ciencia, sino que son una fuente de intuición y penetración inagotable.
La aparición de paradojas en la teoría de conjuntos de Cantor condujo a su axiomatización, siendo la más conocida la denominada ZFC (la teoría de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección), que restringía las operaciones para definir nuevos conjuntos a partir de unos conjuntos dados. La introducción de la axiomática supuso una desviación del platonismo inicial de Cantor.
Frege. Postuló el platonismo matemático al afirmar en su obra “Fundamentos de la Aritmética” que la objetividad de los conceptos está disociada de la cognición del sujeto. Consideraba a la matemática como una ciencia del dominio platónico de los conceptos y los objetos matemáticos. Los matemáticos descubren, no inventan. La matemática es el lenguaje del pensamiento. Los objetos matemáticos se captan con el poder del pensamiento. Los objetos matemáticos no se captan con los sentidos ordinarios, sino que son dados directamente a la razón, la cual los puede contemplar como lo más profundo de sí misma.
Frege distingue 3 reinos: el de los objetos sensibles, el de las representaciones mentales y el de los objetos matemáticos. Este tercer reino es un espacio objetivamente real, que existe independientemente del hombre y es donde la verdad tiene sentido.
Russell. Fue platonista durante la época en la que estuvo bajo la influencia de Frege. Su culmen platonista se encuentra en su obra “Introducción a la Filosofía Matemática”.
Hardy. Expresó sus convicciones platónicas en su clásico “Apología de un Matemático”: “Creo que la realidad matemática existe fuera de nosotros, que nuestro cometido consiste en descubrirla u observarla, y que los teoremas que demostramos y que describimos grandiolocuentemente como nuestras ‘creaciones’ son simplemente las notas de nuestras observaciones”.
Gödel. Estuvo influido tempranamente por la concepción platónica de las matemáticas (cuando era estudiante de la Universidad de Viena) por el profesor de filosofía Heinrich Gomperz, hasta tal punto que decidió estudiar matemáticas en lugar de física teórica, que era su intención inicial. Tras la publicación de su famoso Teorema de Incompletud (1931), se plantea formalmente la cuestión de si las matemáticas son solo un producto de la mente humana (y, por lo tanto, de tipo subjetivo) o si, por el contrario, constituye una realidad objetiva. Gödel veía en este tema tres alternativas:
Aristotelismo. Los objetos matemáticos pueden localizarse en la naturaleza.
Psicologismo. Los objetos matemáticos se crean y residen en la mente humana.
Platonismo. Los objetos matemáticos residen en el mundo superior de las ideas.
El aristotelismo lo rechaza por la dificultad de la tarea de reconocer los conceptos matemáticos como cualidades abstractas de las cosas sensibles. El psicologismo también lo rechaza, porque implicaría negar el conocimiento matemático objetivo y compartido. Se inclina por el platonismo porque la conclusión de su teorema es que la mera sintaxis, la mera forma externa es insuficiente para captar todas las verdades matemáticas. Así que para Gödel su platonismo estaba bien fundamentado:
Basándose en su teorema, distinguía entre matemáticas objetivas y subjetivas. Las objetivas abarcan todas las propiedades. Las subjetivas son las que los matemáticos pueden elaborar, que son las más aproximadas posible a las verdades objetivas, pues no pueden llegar a conocerlas en su totalidad.
El mundo platónico describe una realidad objetiva, no accesible por los sentidos ordinarios, sino solo accesible por la mente humana y que existe independientemente de ella. Los objetos matemáticos son tan reales como los físicos. Las intuiciones matemáticas son tan reales como las percepciones sensoriales.
Los conceptos matemáticos son de tipo objetivo y preexistentes. La tarea de los matemáticos es descubrirlos y describirlos, ponerlas de manifiesto.
Como Frege, hablaba de un espacio conceptual: “Los conceptos están ahí, pero no en un lugar definido.... Forman el espacio conceptual”.
El mundo matemático es tan real como el material, pero los sentidos son distintos. Los conceptos matemáticos se perciben mediante la intuición.
La mente humana no se puede reducir a a un mero mecanismo.
Hay que establecer conceptos a priori para fundamentar la matemática. De hecho, elaboró una lista de 18 categorías o conceptos fundamentales.
Paul Erdös. Fue un realista matemático, tanto como Gödel. Sostenían que el universo matemático se puede percibir de manera análoga a como nuestros sentidos perciben el mundo físico.
René Thom. Expresó su creencia en que la matemática tratan de entidades arquetípicas. “Las formas matemáticas tienen de hecho una existencia que es independiente de la mente que las examina”.
Penrose. Platonista declarado, identifica platonismo con objetividad:
Los objetos matemáticas tienen existencia objetiva. Contactamos con ellos y los descubrimos a través del intelecto y la intuición (insight). Pone como ejemplo el conjunto de Mandelbrot, los números complejos y el último teorema de Fermat. “Decir que una afirmación matemática tiene existencia platónica es sencillamente decir que es verdadera en un sentido objetivo”.
El mundo de los objetos matemáticos es un mundo más perfecto que el material, pero es tan real como este. “Cuanto más profundamente sondeemos los secretos de la naturaleza, más profundamente nos vemos dirigidos hacia el mundo platónico de las ideas matemáticas a medida que buscamos el conocimiento”.
Los números complejos tienen una profunda e intemporalidad realidad. El conjunto de Mandelbrot no es una invención, sino un descubrimiento, algo tan real como el monte Everest.
Willard Van Orman Quine y Hilary Putnam se declararon realistas matemáticos. El llamado “argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam” de las entidades matemáticas se basa en la lógica siguiente:
Tenemos buenas razones para creer que nuestras mejores teorías científicas son verdaderas.
Debemos reconocer la existencia de todas las entidades que son indispensables para que nuestras mejores teorías científicas sean verdaderas.
Las entidades matemáticas abstractas son indispensables en nuestras mejores teorías científicas. Por lo tanto:
Debemos reconocer la existencia de las entidades matemáticas abstractas.
Se ha objetado a este argumento que el punto 3 no explica por qué las matemáticas son indispensables para la ciencia, pues puede haber teorías científicas sin matemáticas. De hecho, Hartry Field publicó en 1980 “Science without Numbers. A defence of nominalism” en el que rechazaba el argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam [Field, 1980]. Field consideraba a las matemáticas “una ficción útil”. Decía que una expresión como 2+2 = 4 era tan falsa como Sherlock Holmes. Su doctrina se denomina “ficcionalismo matemático”.
No obstante, el argumento de indispensabilidad se considera el fundamento del empirismo matemático contemporáneo.
Henri Poincaré. Hay una realidad matemática, pero también creamos herramientas para explorar esa realidad.
Alain Connes. Se declara platonista matemático. Cree en la existencia de un reino matemático puro e inmutable, independiente de la mente humana.
Según Jean Dieudonné, el matemático en activo es platónico en días de trabajo y formalista los domingos. “En cuestiones fundacionales, nosotros creemos en la realidad de las matemáticas, pero claro, cuando los filósofos empiezan a atacarnos con sus paradojas, corremos a escondernos detrás del formalismo y decimos: ‘La matemática no es más que una combinación de símbolos faltos de significado’ ... Finalmente se nos deja en paz y así podemos regresar a nuestra matemática, trabajando como siempre lo hemos hecho, es decir, con algo que es real” [Dieudonné, 1970]. En su obra “En honor del espíritu humano” [1989], examina la evolución de las matemáticas de una forma independiente y objetiva. Esta obra fue la respuesta que dio a alguien que le pregunto la razón por la que se dedicaba a las matemáticas.
Para Martin Gardner, la matemática se descubre. Pone el ejemplo del conjunto de Mandelbrot, que considera está “afuera”, de la misma manera que una selva está sujeta a exploración.
Antiplatónismo matemático
Las escuelas que se oponen a la visión platónica de las matemáticas son las de tipo materialista, fisicista, cientifista, positivista, experimental y práctico. Destacamos las siguientes:
El constructivismo.
Considera que los objetos matemáticos son una creación, construcción o invención de la mente humana. Las matemáticas no añaden nada nuevo a la experiencia. Los objetos matemáticos son entes de la razón y no existen más que en el pensamiento del matemático. Las matemáticas son “herramientas del pensamiento” que crea el matemático.
Según Allan Calder [1979], los criterios de aceptabilidad de las matemáticas constructivas son más rigurosos que las matemáticas no constructivas, pues el análisis es más riguroso y los teoremas son más sólidos.
El conceptualismo.
Los universales no tienen existencia independiente y son una creación del sujeto cognitivo.
El nominalismo.
Ven en los objetos abstractos o universales simplemente una convención lexicográfica sin realidad más allá del lenguaje. Estos objetos no tiene existencia objetiva.
El intuicionismo. Su inspirador principal fue Brower. Es una particularización del constructivismo:
Todo objeto matemático es una creación de la mente humana.
No basta con la demostración de existencia de un objeto matemático. La existencia de un objeto es equivalente a su posibilidad de construcción.
Las matemáticas deben construirse sobre principios intuitivamente claros.
Niega el principio del tercero excluido, la ley de doble negación y la abstracción del infinito.
Intenta unir teoría y práctica.
El formalismo axiomático. Su inspirador principal fue Hilbert. El método axiomático es una imposición, una creación mental más o menos subjetiva. No es un descubrimiento, por lo que va en contra del platonismo.
El positivismo.
El positivismo, que nació con Augusto Comte y John Stuart Mill, da primacía a lo objetivo, lo material, lo experimental, lo externo, lo práctico. Es lo contrario del idealismo, que da primacía al mundo subjetivo, espiritual, interno y teórico:
El único conocimiento verdadero es el científico, el verificable experimentalmente.
Todas las actividades filosóficas y científicas deben efectuarse siempre dentro del marco de los hechos verificables experimentalmente.
El método científico debe ser único y el mismo para todas las ciencias.
La razón debe ser el único medio para obtenerla verdad.
No deben considerarse principios o teorías que no hayan sido verificados experimentalmente.
Rechaza la intuición y los conceptos a priori.
La verdad es la correspondencia entre afirmaciones y hechos.
Los objetos matemáticos son una creación de la mente. La matemática es una ciencia empírica, experimental.
Según Gödel, el positivismo es la postura de la izquierda, junto con el materialismo y el escepticismo. Y la visión idealista es la postura de la derecha, junto con la metafísica y la teología.
El positivismo lógico −también llamado neopositivismo o empirismo lógico, y cuyo máximo exponente fue el Círculo de Viena− fue un movimiento científico-filosófico que iba más allá del positivismo clásico. Su tesis más destacada es la que sostiene que un enunciado es cognitivamente significativo solo si es una sentencia de la ciencia empírica, de la lógica o de la matemática.
Una de las críticas más fuertes contra el platonismo es la de Banacerraf en su artículo ya clásico titulado “Mathematical Truth”, en donde utiliza el siguiente razonamiento:
Los seres humanos existen enteramente en forma espacio-temporal.
Si hay objetos matemáticos abstractos, ellos existen fuera del espacio-tiempo.
Por lo tanto, los seres humanos no puede tener conocimiento de ellos.
Si el platonismo matemático es correcto, los seres humanos no podrían tener conocimientos matemáticos.
Los seres humanos tienen conocimientos matemáticos.
Luego el platonismo matemático no es correcto.
Tipos de platonismo matemático
Frente al platonismo matemático “estándar”, existen también diversas versiones o visiones, entre ellas las siguientes:
Platonismo ontológico.
Solo hace referencia a los entes matemáticos: existen y son independientes de los seres humanos.
Platonismo lógico (truth-value realism).
Todo enunciado matemático bien formado es objetivamente verdadero o falso, independientemente de los seres humanos.
Platonismo natural.
Las leyes de la matemática son leyes de la naturaleza.
Platonismo estructural.
Los entes matemáticos son descripciones de patrones o estructuras abstractas.
Platonismo débil.
El platonismo puro considera el mundo matemático totalmente objetivo. La existencia platónica equivale a lo objetivamente verdadero. Sin embargo, a veces se habla de platonismo “débil” cuando se considera una cierta subjetividad de percepción del mundo matemático objetivo, es decir, cuando se trata de una cuestión de opinión. Un ejemplo de este tipo es el famoso “axioma de elección” de la teoría de conjuntos, que tanta controversia ha generado en la fundamentación de las matemáticas, principalmente porque implica el tema del infinito.
Platonismo fuerte, pleno, completo o absoluto.
Todo objeto matemático imaginable existe realmente. Es un mundo de libertad y creatividad sin límites. Por lo tanto, a los 9 principios del platonismo matemático habría que añadir los principios de:
Libertad. El mundo matemático es un mundo de libertad.
Imaginación. El mundo matemático está abierto a la imaginación, trascendiendo los límites del mundo físico.
Creatividad. El mundo matemático es un mundo de máxima creatividad, como consecuencia de la libertad y del poder de la imaginación.
Grados de platonismo
Paul Bernays definió lo que denominó “grado de platonismo” de un sistema matemático, basado en la clase de totalidades admitidas en el sistema. Definió tres niveles:
El grado uno es el sistema que acepta los números naturales como una sola entidad completa y a las propiedades se les puede aplicar el principio de tercero excluido (toda propiedad es verdadera o falsa, sin ningún elemento intermedio o “tercero”). Por ejemplo, todo número real es cero o distinto de cero.
El grado dos es el sistema que admite totalidades como el conjunto de todos los puntos de la recta real o el conjunto de todos ls subconjuntos de los números naturales.
El tercer grado es el sistema que admite los números transfinitos de Cantor.
Platonismo matemático e imaginación
Según el platonismo, los entes matemáticos existen y son objetivos, en el sentido de que cualquier matemático puede acceder y explorar ese territorio común. Sin embargo, hay entes matemáticos que no son expresables en un lenguaje formal. Por ejemplo:
Todos los números irracionales existen en el mundo platónico, pero la mayoría son inexpresables en un lenguaje formal. Solo son expresables una mínima parte, que son los que pueden describirse mediante un patrón finito. Por lo tanto, los números inexpresables son imaginarios y para acceder a ellos necesitamos nuestra facultad imaginativa.
La recta real como una totalidad solo se percibe con la imaginación. Es un ente abstracto inexpresable.
El teorema de incompletud de Gödel también nos dice que hay expresiones inaccesibles mediante los axiomas. Estas expresiones son también imaginarias.
El “axioma de elección” de la teoría de conjuntos. Formulado por Ernst Zermelo en 1904 afirma que: “Dada una colección de conjuntos (finito o infinito), cada uno con al menos un elemento, se puede crear otro conjunto de orden superior tomando un elemento de cada conjunto”. Este axioma, evidente para conjuntos finitos, para conjuntos infinitos es platónico a nivel imaginativo (es posible imaginar que se elige un elemento de cada conjunto) pero solo es expresable cuando se establecen dos patrones genéricos: uno para definir los propios conjuntos, y otro para el criterio de selección del elemento de cada conjunto.
Por lo tanto, podemos concluir que el mundo platónico consta de dos niveles: el expresable y el inexpresable, ambos objetivos pero con diferentes modos de acceso: la vía imaginativa y la lingüística formal.
Lo inexpresable −lo místico que decía Wittgenstein− es imaginario, pues cae más allá del mundo de la mente. Solo podemos acceder mediante la imaginación, de forma subjetiva. Lo objetivo, es lo expresable, lo que puede ser compartido externamente.
Desde este punto de vista, los llamados “números imaginarios” (basados en la unidad imaginaria, basada en la expresión i2 = −1) realmente no son imaginarios, pues son expresables.
MENTAL, un Lenguaje Platónico y Aristotélico
En MENTAL se armonizan las concepciones matemáticas de Platón y Aristóteles:
La perspectiva platónica
Existe una correspondencia o analogía entre MENTAL y la filosofía platónica. En ambos casos, tenemos dos mundos o niveles de realidad:
Las primitivas semánticas universales. Corresponden al mundo superior de las ideas platónicas, como sugería Gödel que habría que reducir las cosas. Son ideas platónicas por las siguientes razones:
Son conceptos trascendentales y universales, presentes en todas las manifestaciones.
Son innatas y a priori.
Son eternas. Son inmutables. Son la auténtica realidad. Pues según el platonismo, “la realidad no cambia, lo que cambia no es real”.
Son arquetipos abstractos. Las ideas platónicas hoy día las podemos identificar con los arquetipos. Los arquetipos actúan de intermediarios entre el plano del alma y el plano mental superior (el aspecto intuitivo). Las intuiciones son mensajes del alma que llegan a la mente superior.
Se conocen o se accede a ellas mediante la intuición.
Son inmanifiestas. Solo se manifiestan en las expresiones particulares.
Las expresiones de MENTAL son particularizaciones de las primitivas. Corresponderían al mundo inferior platónico.
Son elementos sensibles, aunque abstractos. No son objetos matemáticos imperfectos (como el dibujo del círculo) sino expresiones exactas del lenguaje universal.
Son expresiones manifiestas del lenguaje universal inmanifiesto.
Participan del mundo superior a través de las primitivas. En las expresiones particulares están reflejadas las primitivas universales.
Comparando la visión platónica con MENTAL, podemos hacer las siguientes observaciones:
Platón decía que las ideas se proyectan en los fenómenos, pero no llegó a explicar cómo era es mecanismo. Con MENTAL se ve que en todos los fenómenos (las expresiones) están “hechos” de ideas (los arquetipos abstractos).
Con MENTAL se tienen patrones arquetípicos universales, abstractos e innatos que nos hacen reconocerlos en todas las cosas. Estos arquetipos actúan en todos los niveles, incluido el físico, lo que explica que las leyes y la estructura de la naturaleza es matemática. Hay unidad mente-naturaleza.
Platón no aclara cómo se realiza o establece la Dialéctica de las ideas.
En MENTAL hay una Dialéctica vertical entre los aspectos de la conciencia universal–particular, y también una Dialéctica horizontal correspondiente a la combinatoria de las primitivas. En la Dialéctica vertical reside la clave de la conciencia, la conexión que se establece entre lo universal y lo particular a través de la mente.
Cuando Platón habla de la razón se está refiriendo, evidentemente, a la mente, como intermediaria entre el mundo superior de las ideas y el mundo inferior de las cosas sensibles. En el caso de MENTAL, los dos polos son la intuición y la razón, los dos aspectos o modos de la mente.
La perspectiva aristotélica
MENTAL se puede considerar también aristotélico:
Porque las primitivas, además de ideas platónicas, se pueden considerar generalizaciones o abstracciones de lo sensorial. En este sentido se pueden considerar a posteriori. Estas abstracciones son categorías filosóficas, al estilo aristotélico, es decir, clasificaciones de la realidad.
Porque son universales que están presentes en todas las cosas.
Porque incluye una lingüística, una formalización, como hizo Aristóteles con la lógica.
Por su carácter práctico, que complementa al teórico.
La unión de los dos modos de conciencia
MENTAL une los dos polos o aspectos de la conciencia, representados por las filosofías platónica y aristotélica, en un equilibrio entre el idealismo y el pragmatismo, entre lo subjetivo y lo objetivo, entre lo a priori y lo a posteriori, entre teoría y práctica, entre sintaxis y semántica:
MENTAL es un descubrimiento y una invención:
Descubrir es sacar a la luz algo que estaba oculto o era desconocido. El descubrimiento está asociado a lo profundo, lo universal e interior. En este sentido, MENTAL es un descubrimiento.
Inventar es establecer relaciones nuevas y creativas con elementos previamente conocidos. La invención está asociado a lo superficial, lo particular y exterior. En este sentido, MENTAL, en su aspecto práctico, es una invención porque permite combinar las primitivas para crear todo tipo de expresiones. La sintaxis, como aspecto más superficial, es también una invención.
Hay dos niveles conectados o integrados. El resultado de esta integración es la conciencia:
Un nivel expresable, lingüístico, racional, consciente, objetivo, asociado a la conciencia del modo izquierdo del cerebro. La representación es externa, digital, superficial.
Un nivel no expresable, alingüístico, imaginativo, intuitivo, subconsciente, subjetivo, asociado a la conciencia del modo derecho del cerebro. La representación es interna, analógica, profunda.
Unión de abstracción y arquetipos.
La intuición (el movimiento de la conciencia de arriba-abajo, desde el alma) y la abstracción (el movimiento de abajo-arriba, desde el mundo físico hacia la mente) son conceptos que se encuentran en un punto común, que son las primitivas semánticas universales. MENTAL, haciendo honor a su nombre, pertenece al reino mental. Las primitivas son arquetipos de la conciencia que conecta el mundo superior inmanifiesto y el mundo inferior manifiesto (el mundo mental y el físico).
Platonismo matemático absoluto.
Toda expresión de MENTAL existe, pues es combinación de primitivas. Los límites de lo cognoscible son los límites del lenguaje. Y tiene el mayor grado de platonismo (según la clasificación de Bernays), pues es capaz de expresar o describir totalidades matemáticas de todo orden.
Con los arquetipos abstractos, por su universalidad, podemos construir todo tipo de entes matemáticos. Estos arquetipos son innatos y comunes a toda la humanidad.
Toda expresión existe siempre que se haya formado por combinatoria de las primitivas. Es un mundo de libertad, creatividad e imaginación plenas: el platonismo absoluto.
Adenda
La teoría de las ideas en “Los Diálogos” de Platón
En los Diálogos, Platón utilizó el método de preguntas y respuestas de su maestro, Sócrates, para alcanzar la verdad. La teoría de las ideas se trata, desde diferentes aspectos, en varias de las obras de Platón:
La República. Expone la teoría del conocimiento, incluyendo la famosa alegoría de la caverna.
Timeo. Trata de cosmología y ciencias de la naturaleza, influido por las matemáticas pitagóricas. Menciona los que conocemos ahora como sólidos platónicos. Trata el tema del conocimiento verdadero, que concierne a la razón y que nunca cambia (el de las ideas), frente a las opiniones cambiantes que dependen solo de las sensaciones, de la experiencia.
Fedro. Discute la teoría de las ideas y la naturaleza del alma.
Teeteto. Trata sobre las diferentes teorías del conocimiento. En él Platón niega que el conocimiento pueda ser identificado con la percepción. Distingue entre creencia y conocimiento. Se considera el primer estudio sobre la filosofía de la ciencia.
Sofista. Es una reflexión posterior sobre las ideas y las formas.
Bibliografía sobre Gödel y el platonismo matemático
En 1944 publica “La lógica matemática de Russell”, en donde expone una filosofía realista o platónica de la lógica. Está disponible en [Mosterín, 1989].
En 1947, publica “Qué es el problema del continuo de Cantor?”. En él afirma que el mundo de las entidades abstractas es un mundo necesario y verdadero, accesible por la pura razón. Está disponible también en [Mosterín, 1989].
En 1951 imparte una conferencia Gibbs titulada ”Algunos teoremas básicos sobre los fundamentos de la matemática y sus implicaciones filosóficas”, en donde explicita su realismo matemático. Está disponible en [Rodríguez Consuegra, 1994].
En 1953 acepta contribuir con un ensayo a un volumen sobre la filosofía de Carnap (del Círculo de Viena). Estuvo trabajando durante varios años e hizo varias versiones. En 1959 decide no publicarlo. Finalmente se publicó en 1994 con el título “¿Es la matemática la sintaxis del lenguaje?”. En este ensayo niega que la matemática sea la sintaxis del lenguaje, como sostenían los positivistas lógicos del Círculo de Viena; la matemática es una ciencia de objetos reales. Está disponible en [Rodríguez Consuegra, 1994].
En 1958, publica “Sobre una extensión de la matemática finitaria que todavía no ha sido usada”, en el que señala la necesidad de precisar los conceptos de “evidencia intuitiva y “evidencia abstracta”. Está disponible en [Mosterín, 1989].
Bibliografía
Balaguer, Mark. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics. Oxford University Press, 2001.
Bernays, Paul. Platonism in Mathematics. 1935. Disponible en Internet.
Barrow, John D. ¿Por qué el mundo es matématico? Grijalbo, 1997.
Barrow, John D. PI in the Sky: Counting, Thinking, and Being. Back Bay Books, 1992.
Calder, Allan. Matemática constructivista. Investigación y Ciencia, Diciembre 1979.
Cañón Loyes, Camino. La matemática. Creación y descubrimiento. Universidad Pontificia de Comillas de Madrid, 1993.
